完美的正方形分割

　 现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。因而图1、图2是两个最完美的长方形的正方分割。

　 数学家们在当时是怎样想出上面这些分割的方法呢？他们也与我们遇到一个新问题时一样，总是通过不断地尝试，细致地分析，反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才达到成功的。比如，在初中的基础上，拟出一个图形，如图3，设它是一个长方形的正方分割。为便于分析，我们引进三个未知数，设其中的三个小正方形的边长分别为x、y、z。由此顺次推出其他正方形的边长为x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z。

　 因为图3是一个长方形，那么它的对边就应该相等，此时，x,y,z应满足下面的关系：

将这个方程组整理得

也就是

　 若取Z=1，就有x=4,y=10。将它代入图3就得到图1的长为33、宽为32，且阶数为九的长方形的正方分割。
　 那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，众说纷纭，莫衷一是。直到本世纪三十年代末，德国的一位数学家发现了正方形的一种正方分割后，才算有了定论。后来，人们的目光又投向了一个新的目标，寻求正方形的一种阶数最低的正方分割。
　 在这一征途上的攀登是艰难的。到了七十年代，数学家才在计算机的帮助下，圆满地解决了这一问题。现已证明，4给出的21阶的正方分割是阶数最低的一种分割，因而，图4是最完美的正方形的正方分割。